交通事故を起こすと通常、加入している保険会社が契約者に代わって被害者と示談交渉を行います。
そして、被害者の損害額を保険金で支払います。

従って、加害者である契約者がお金を支払うということがありません。
ただ、保険のシステムからいうと、本来は加害者が被害者に賠償金を支払い、その賠償金を保険で補償するというのがあるべき姿です。

ちなみに、保険会社が示談を代行していることで気にかける人はいませんが、保険金の請求権には時効があります。

請求権の時効は保険法によって3年と定められています。
3年を過ぎると請求権が消滅します。

ところが、その時効の起算日をいつにするのかは、保険法に規定が無いため、民法の原則に則って決められます。
一般的な対人賠償保険や対物賠償保険における請求権の時効の起算日は、損害額が確定した時点とされています。

例えば、ケガの場合は、ケガが治癒して治療に費やしたすべての費用が確定した時点が時効の起算日になります。

従って、後遺障害などで治療が何年にも渡って続いた場合、治療費が確定しない限りは時効が始まりません。
つまり、何年経とうが、保険金を請求できなくなるということがありません。

なお、被害者が死亡した場合は死亡時から時効がスタートします。
車の損害の場合は事故発生時が時効の開始日です。

ところで、事故を起こした車に同乗していた人の治療費を補償する保険に人身傷害補償保険があります。
人身傷害補償保険の時効の開始日には、2つのパターンがあります。
1つは、「被保険者が日常の生活、若しくは仕事に従事することができる程度に回復した時」です。
もう1つは、「事故発生日を起点として180日が経過した時」です。
どちらか早い方が時効の開始日になります。